有限元法是以變分法或者加權剩余法為基礎♀☿☼☀☁☂☄，結合分塊逼近技術☈⊙☉℃℉❅，形成系統化的數值計算方法♦☜☞☝✍☚☛☟✌✽✾✿❁❃。有限元把求解區域離散化♀☿☼☀☁☂☄，即求解的區域劃分成互相聯結又互不重疊的一定形狀的有限子個子區域①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯，這些子區域稱為“單元”和“有限元”♀☿☼☀☁☂☄，在單元中選擇插值函數㈠㈡㈢㈣㈤㈥㈦，對各個單元進行分析①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯，建立單元有限元方程ⓚⓛⓜⓝⓞⓟⓠⓡⓢ，匯總成總體有限元方程ⓚⓛⓜⓝⓞⓟⓠⓡⓢ，進而求解✤✥❋✦✧✩✰✪✫✬✭✮✯❂✡★✱✲✳✴。

有限元的插值函數由單元的形狀和要求逼近的階數所確定웃유ღ♋♂。一般的計算區域可以是一維♦☜☞☝✍☚☛☟✌✽✾✿❁❃、二維或者是三維的⓱⓲⓳⓴⓵⓶⓷⓸⓹⓺⓻⓼⓽⓾。單元形狀有一維單元即直線單元ⓊⓋⓌⓍⓎⓏⓐⓑⓒⓓⓔⓕⓖⓗⓘⓙ，對應有一維線性插值函數ⓣⓤⓥⓦⓧⓨⓩ，一維二次插值函數和拉格朗日插值函數：二維包括三角形單元⒥⒦⒧⒨⒩⒪⒫⒬⒭⒮⒯⒰⒱⒲⒳⒴⒵❆❇❈❉❊†☨✞✝☥☦☓☩☯、矩形單元和任意四邊形單元⒜⒝⒞⒟⒠⒡⒢⒣⒤，對應有三角形單元插值函數❋❀⚘☑✓✔√☐☒✗✘ㄨ✕✖✖⋆✢✣，矩形單元插值函數⒜⒝⒞⒟⒠⒡⒢⒣⒤，埃爾米特插值多項式ⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹⒶⒷⒸⒹ，其中矩形單元插值函數又可分為：矩形單元線形插值ⒺⒻⒼⒽⒾⒿⓀⓁⓂⓃⓄⓅⓆⓇⓈⓉ，矩形單元的二次插值和等參元❋❀⚘☑✓✔√☐☒✗✘ㄨ✕✖✖⋆✢✣。四邊形單元☾☽❄☃；三維包括有四個頂點的四面體單元和八個頂點的八面體單元✵✶✷✸✹✺✻✼❄❅，對應有四面體單元的插值函數和矩形六面體單元的插值函數ⅢJⓊⓋⓌⓍⓎⓏⓐⓑⓒⓓⓔⓕⓖⓗⓘⓙ，針對不同的單元可以選擇不同的插值函數⒥⒦⒧⒨⒩⒪⒫⒬⒭⒮⒯⒰⒱⒲⒳⒴⒵❆❇❈❉❊†☨✞✝☥☦☓☩☯。

單元方程的建立有兩種方法✵✶✷✸✹✺✻✼❄❅，一是里茲方法的求解公式❣❦❧♡۵，另一個是伽遼金方法的求解公式㈠㈡㈢㈣㈤㈥㈦，利用上述兩種方法的任一種㈧㈨㈩⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂，寫出單元方程✤✥❋✦✧✩✰✪✫✬✭✮✯❂✡★✱✲✳✴。然后⒔⒕⒖⒗⒘⒙⒚⒛ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫⅰⅱ，將單元方程對所有單元求和❣❦❧♡۵，得到方程組♀☿☼☀☁☂☄，這個過程叫組合⑰⑱⑲⑳⓪⓿❶❷❸❹❺。最后㊀㊁㊂㊃㊄㊅㊆㊇㊈㊉，應用邊界條件求得方程組的最終形式ⓚⓛⓜⓝⓞⓟⓠⓡⓢ。

其中☈⊙☉℃℉❅，關于邊界條件在2．3．2節中已經詳細介紹⒜⒝⒞⒟⒠⒡⒢⒣⒤，這里主要說明的是✤✥❋✦✧✩✰✪✫✬✭✮✯❂✡★✱✲✳✴，在電抗器電磁場的求解中✤✥❋✦✧✩✰✪✫✬✭✮✯❂✡★✱✲✳✴，有兩種邊界條件經常用到웃유ღ♋♂，一是狄利克雷邊界條件⑰⑱⑲⑳⓪⓿❶❷❸❹❺，它給出了邊界處的中值⒥⒦⒧⒨⒩⒪⒫⒬⒭⒮⒯⒰⒱⒲⒳⒴⒵❆❇❈❉❊†☨✞✝☥☦☓☩☯；另一類是齊次諾曼邊界條件☈⊙☉℃℉❅，它要求邊界處①的法向導數為零♀☿☼☀☁☂☄。第一類邊界條件是必要邊界條件❣❦❧♡۵，它必須顯示地強加在計算中☈⊙☉℃℉❅；第二類邊界條件通常在求解過程中隱含的自動滿足⑰⑱⑲⑳⓪⓿❶❷❸❹❺。正是這種原因⒥⒦⒧⒨⒩⒪⒫⒬⒭⒮⒯⒰⒱⒲⒳⒴⒵❆❇❈❉❊†☨✞✝☥☦☓☩☯，第二類邊界條件通常稱為自然邊界條件❣❦❧♡۵。

下面以一維有限元法為例介紹有限元法的基本原理⒜⒝⒞⒟⒠⒡⒢⒣⒤。如圖2．1所示為一無限大平板電容器✵✶✷✸✹✺✻✼❄❅，該電容器的兩極板間充有P=F的自由電荷ⓣⓤⓥⓦⓧⓨⓩ，并假設極板都接在電壓為“的電源上⒜⒝⒞⒟⒠⒡⒢⒣⒤，極板距離為2d⒃⒄⒅⒆⒇⒈⒉⒊⒋⒌⒍⒎⒏⒐⒑⒒⒓。很明顯⒃⒄⒅⒆⒇⒈⒉⒊⒋⒌⒍⒎⒏⒐⒑⒒⒓，電容器的激勵和幾何形狀都對稱于Y軸☾☽❄☃，使電勢在對稱軸上沿x方向變化率為零⒥⒦⒧⒨⒩⒪⒫⒬⒭⒮⒯⒰⒱⒲⒳⒴⒵❆❇❈❉❊†☨✞✝☥☦☓☩☯，于是這種對稱結構可用齊次諾依曼邊界條件來表示☾☽❄☃。則這個平行板電容器靜電場的微分方程為

這里聲實際上僅為工的一元函數⑰⑱⑲⑳⓪⓿❶❷❸❹❺，第一個方程右邊為·1是因為激勵電荷密度p=￡的結果㈠㈡㈢㈣㈤㈥㈦。

下面結合上述平行板電容器的一維靜電場求解問題詳細介紹有限元法㊀㊁㊂㊃㊄㊅㊆㊇㊈㊉。有限元法求解的第一步是劃分單元⒃⒄⒅⒆⒇⒈⒉⒊⒋⒌⒍⒎⒏⒐⒑⒒⒓，即把整體區域劃分成若干小區域(或單元)♀☿☼☀☁☂☄。這里把(O✺ϟ☇♤♧♡♢♠♣♥，d)區間分割成五個單元ⓚⓛⓜⓝⓞⓟⓠⓡⓢ，分別記作e．⑰⑱⑲⑳⓪⓿❶❷❸❹❺、e⓱⓲⓳⓴⓵⓶⓷⓸⓹⓺⓻⓼⓽⓾，ⓊⓋⓌⓍⓎⓏⓐⓑⓒⓓⓔⓕⓖⓗⓘⓙ、e⒜⒝⒞⒟⒠⒡⒢⒣⒤，웃유ღ♋♂、e⑰⑱⑲⑳⓪⓿❶❷❸❹❺。❻❼❽❾❿⓫⓬⓭⓮⓯⓰、e♀☿☼☀☁☂☄；✤✥❋✦✧✩✰✪✫✬✭✮✯❂✡★✱✲✳✴。劃分過程中1ⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹⒶⒷⒸⒹ、2㈧㈨㈩⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂、和3單元較小ⓊⓋⓌⓍⓎⓏⓐⓑⓒⓓⓔⓕⓖⓗⓘⓙ，也就是說在這個區域內單元較密ⒺⒻⒼⒽⒾⒿⓀⓁⓂⓃⓄⓅⓆⓇⓈⓉ，這也體現了單元疏密適當的思想㈠㈡㈢㈣㈤㈥㈦。

通常劃分的區域越多웃유ღ♋♂，則解的精度越高㈧㈨㈩⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂，當然計算量也就越大✵✶✷✸✹✺✻✼❄❅，計算時間越長ⓊⓋⓌⓍⓎⓏⓐⓑⓒⓓⓔⓕⓖⓗⓘⓙ。劃分單元的大小可以不同✺ϟ☇♤♧♡♢♠♣♥，視具體情況而定ⒺⒻⒼⒽⒾⒿⓀⓁⓂⓃⓄⓅⓆⓇⓈⓉ，如場分布比較密ⓚⓛⓜⓝⓞⓟⓠⓡⓢ， 那么采用較小的單元以更多的單元劃分密的區域㊀㊁㊂㊃㊄㊅㊆㊇㊈㊉。劃分后的區域由不同尺寸的四個單元和五個節點表示♦☜☞☝✍☚☛☟✌✽✾✿❁❃，如圖2．2所示⒥⒦⒧⒨⒩⒪⒫⒬⒭⒮⒯⒰⒱⒲⒳⒴⒵❆❇❈❉❊†☨✞✝☥☦☓☩☯。每個節點上的電勢分別記作死❋❀⚘☑✓✔√☐☒✗✘ㄨ✕✖✖⋆✢✣、≯：⒔⒕⒖⒗⒘⒙⒚⒛ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫⅰⅱ、九ⓚⓛⓜⓝⓞⓟⓠⓡⓢ、≯❻❼❽❾❿⓫⓬⓭⓮⓯⓰。和九⒜⒝⒞⒟⒠⒡⒢⒣⒤。而每個單元由相鄰兩個節點所限定☾☽❄☃，單元中的值采用單元節點值進行線性插值得到☈⊙☉℃℉❅。

介于節點f和i+1之間單元上的勢函數礦㊀㊁㊂㊃㊄㊅㊆㊇㊈㊉。由節點i和i+1上的勢函數≯✤✥❋✦✧✩✰✪✫✬✭✮✯❂✡★✱✲✳✴，和≯㈠㈡㈢㈣㈤㈥㈦。及相應的形函數妒㈧㈨㈩⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂，和≯❋❀⚘☑✓✔√☐☒✗✘ㄨ✕✖✖⋆✢✣。所表達☧☬☸✡♁✙♆。，、＇：∶；，如式2．25所示♀☿☼☀☁☂☄。形函數在微分方程求解的變分法和加權余數法中稱為嘗試函數☧☬☸✡♁✙♆。，、＇：∶；，在有限元法中它主要體現了插值函數的形狀웃유ღ♋♂。

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